Phân tích nguyên lý STARKs Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao ( AES ), dựa trên miền F28;
Mã xác thực thông điệp Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;
Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl đã vào vòng chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này, và thực hiện việc biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa thức đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến tính) thay cho đa thức đơn biến, bằng cách thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes); thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông (square) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện nay, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua sự tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh từng bước gửi đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính thông qua việc truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PIOP PLONK, PIOP Spartan và PIOP HyperPlonk, mỗi loại có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những phối hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc toán học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác thực mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng giải pháp cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Tính toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và toán học hóa hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình toán học hóa đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt (như được sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố so với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải giới thiệu chuyển vị trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân rã thành miền con m bit).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------thích hợp cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán trong việc sắp xếp các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng được chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck：Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu lập phương Boolean có bằng với một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo sự phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến để tăng cường hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi nơi trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho số không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho số không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng không trên hypercube; Binius đã xử lý vấn đề này một cách chính xác, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa thức nhiều biến phức tạp, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP：thông số dịch nhiều dòng mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được phát sinh từ các tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:
Packing：Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách đóng gói các yếu tố nhỏ hơn ở các vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các yếu tố lớn hơn. Toán tử Pack hoạt động trên các khối có kích thước 2κ và nhóm chúng.
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
12 thích
Phần thưởng
12
5
Chia sẻ
Bình luận
0/400
ChainWallflower
· 07-27 12:58
Điên rồi, năng lượng có thể giảm xuống nhị phân
Xem bản gốcTrả lời0
TradFiRefugee
· 07-27 09:50
Cảm giác mơ hồ rằng năm sau zk sẽ có chuyện lớn xảy ra.
Xem bản gốcTrả lời0
PerpetualLonger
· 07-27 09:50
Không phải chỉ là giảm từ 252 xuống 32, cơ hội mua đáy tôi đã thấy rồi! Công nghệ này vẫn chưa phát triển xong, mua sớm mới là thắng thật!
Xem bản gốcTrả lời0
rekt_but_not_broke
· 07-27 09:46
Chỉ là kỹ thuật rộng này? 32 bit vẫn chưa đủ thấp?
Sáng tạo Binius STARKs: Tối ưu hóa miền nhị phân nâng cao hiệu suất
Phân tích nguyên lý STARKs Binius và suy nghĩ về tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64bit, độ rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32bit, nhưng độ rộng mã hóa 32bit vẫn còn rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.
So với các miền hữu hạn được phát hiện gần đây như Goldilocks, BabyBear, Mersenne31, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên đến những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao ( AES ), dựa trên miền F28;
Mã xác thực thông điệp Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;
Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cùng với hàm băm Grøstl đã vào vòng chung kết SHA-3, hàm băm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo an toàn cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này, và thực hiện việc biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa thức đa biến (cụ thể là đa thức đa tuyến tính) thay cho đa thức đơn biến, bằng cách thể hiện toàn bộ quỹ đạo tính toán thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" (hypercubes); thứ hai, do chiều dài của mỗi chiều trong siêu khối đều là 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối như một hình vuông (square) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện nay, hầu hết các hệ thống SNARKs thường bao gồm hai phần sau:
Chứng minh Oracle Tương tác Đa thức Thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP như là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua sự tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh từng bước gửi đa thức, để người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính thông qua việc truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PIOP PLONK, PIOP Spartan và PIOP HyperPlonk, mỗi loại có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ an toàn và các tình huống áp dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng đến khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải tương thích với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những phối hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu quả và an toàn của nó. Đầu tiên, cấu trúc toán học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) tạo thành nền tảng tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm tra tích và hoán vị của HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đảm bảo tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác thực mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng giải pháp cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 Miền hữu hạn: Tính toán dựa trên tháp của các trường nhị phân
Miền nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán xác minh nhanh chóng, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và toán học hóa hiệu quả. Miền nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học cực kỳ hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc miền nhị phân hỗ trợ quy trình toán học hóa đơn giản hóa, tức là các phép toán được thực hiện trên miền nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp của nó thông qua cấu trúc tháp, khiến miền nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có tính tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt (như được sử dụng trong AES), giảm Montgomery (như trong POLYVAL) và giảm đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố so với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải giới thiệu chuyển vị trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc 128 phần tử miền F2. Tính linh hoạt của biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu (typecast) của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của các phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân rã thành miền con m bit).
2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------thích hợp cho miền nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp đa biến. Các kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng nhận bảo mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán trong việc sắp xếp các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng được chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck：Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu lập phương Boolean có bằng với một giá trị đã tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa thức nhiều biến tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo sự phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa thức đa biến để tăng cường hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi nơi trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc trưng hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho số không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho số không, dẫn đến không thể khẳng định rằng U không bằng không trên hypercube; Binius đã xử lý vấn đề này một cách chính xác, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này giúp Binius xử lý các tình huống sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa thức nhiều biến phức tạp, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk, mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP：thông số dịch nhiều dòng mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức được phát sinh từ các tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng: