Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de la prueba basada en el árbol de Merkle, al usar codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocupan todo el dominio, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.

La anchura de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, la de la segunda generación es de 64 bits y la de la tercera generación es de 32 bits, pero la anchura de codificación de 32 bits aún presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, codificando de manera compacta y eficiente sin espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de Cifrado Avanzado ( AES ), basado en el campo F28;

• Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el dominio F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y usabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio y solo deben operar en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en un dominio de extensión más grande para garantizar la seguridad necesaria.

Al construir sistemas de prueba basados en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y logra representar los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables (específicamente polinomios multilineales) en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una expansión estándar de Reed-Solomon como en los STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, realizando la expansión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al asegurar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La mayoría de los sistemas SNARKs actuales suelen estar compuestos por las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como núcleo del sistema de pruebas, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de forma gradual a través de la interacción con el verificador, de modo que el verificador pueda validar si el cálculo es correcto consultando solo unos pocos resultados de evaluación de polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, cada uno de los cuales tiene un enfoque diferente para el manejo de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de compromiso polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si la igualdad polinómica generada por PIOP es válida. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y verificar más tarde el resultado de la evaluación de ese polinomio, al mismo tiempo que oculta otra información sobre el polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de prueba con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Al diseñar Halo2, se pone énfasis en la escalabilidad y en eliminar el trusted setup del protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP y FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, el PIOP y PCS seleccionados deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba de SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de una configuración confiable, y si puede soportar funciones extendidas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominio binario. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas en el dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación consistente, segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en dominios pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, que proporciona flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso polinómico de dominio pequeño (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reduce los costos generalmente asociados con dominios grandes.

2.1 Cuerpos finitos: aritmética basada en torres de campos binarios

El campo binario en torre es clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. El campo binario, en esencia, admite operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que lo convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario apoya un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que el campo binario sea particularmente adecuado para sistemas de prueba escalables como Binius.

Donde "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de longitud k se puede mapear directamente a un elemento del campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación estándar dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede caber en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen reducciones especiales (como las utilizadas en AES), reducciones de Montgomery (como las utilizadas en POLYVAL) y reducciones recursivas (como Tower). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de (X + Y )2 = X2 + Y2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto de un campo binario. Puede considerarse un elemento único en un campo binario de 128 bits, o descomponerse en dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos de campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional adicional, solo una conversión de tipo de la cadena de bits, lo que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños se pueden empaquetar en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicaciones, cuadrados y operaciones de inversión en un campo de torre binario de n bits (descomponible en un campo de m bits).

2.2 PIOP: versión adaptada de HyperPlonk Product y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testigo de confidencialidad ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verifica si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π(x)), para asegurar la consistencia en la permutación de las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio multivariado en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verifica si un polinomio multivariable en un hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: verifica si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de polinomios univariables, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que facilitan el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: En HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea diferente de cero en todo el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor en 1, lo que reduce la complejidad computacional.

• Manejo del problema de la división por cero: HyperPlonk no ha tratado adecuadamente el caso de la división por cero, lo que impide afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius ha manejado correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede seguir procesando, permitiendo la extensión a cualquier valor de producto.

• Comprobación de Permutación entre columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutaciones entre varias columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de arreglos polinómicos más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo existente de PIOPSumCheck, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más fuerte. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también establecen las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal------aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales son una de las tecnologías clave, que pueden generar y operar de manera efectiva los polinomios derivados de los manejadores de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:

• Packing: Este método optimiza la operación empaquetando elementos más pequeños en posiciones adyacentes en el orden del diccionario en elementos más grandes. El operador Pack se aplica a bloques de tamaño 2κ y los agrupa.